Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đáp án: 56

Hướng dẫn giải:

- Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).

- Từ giả thiết \(\overrightarrow{DA} = (0; -1; 2)\), ta suy ra vectơ đối: \(\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{DA} = (0; 1; -2)\).

- Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AC}\):

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (-2 + 0; 3 + 1; -4 - 2) = (-2; 4; -6) \]

- Bình phương độ dài đường chéo \(AC\) là:

\[ AC^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 = (-2)^2 + 4^2 + (-6)^2 = 4 + 16 + 36 = 56 \]

Đáp án: 2026

Hướng dẫn giải:

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành khi \(y = 0\), tương đương với tử thức bằng 0 (với điều kiện mẫu thức khác 0):

\[ x^2 - 2024x - 2025 = 0 \]

- Đây là phương trình bậc hai có dạng đặc biệt \(a - b + c = 0\) (\(1 - (-2024) + (-2025) = 0\)), nên phương trình có hai nghiệm:

\[ x_1 = -1 \quad \text{và} \quad x_2 = -\frac{c}{a} = 2025 \]

- Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện xác định \(x \neq -2026\). Tọa độ hai giao điểm là \(M(-1; 0)\) và \(N(2025; 0)\).

- Độ dài đoạn thẳng \(MN\) là:

\[ MN = |x_2 - x_1| = |2025 - (-1)| = 2026 \]

Đáp án: 100

Hướng dẫn giải:

- Ta có công thức bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của nó: \((\vec{u})^2 = |\vec{u}|^2\).

- Tính \((\vec{u})^2\):

\[ (\vec{u})^2 = (-3)^2 + 4^2 + (-5)^2 = 9 + 16 + 25 = 50 \]

- Vậy giá trị của biểu thức \(2(\vec{u})^2\) là:

\[ 2 \times 50 = 100 \]

Đáp án: 150

Hướng dẫn giải:

- Chênh lệch thời gian sử dụng nhiều nhất chính là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Khoảng biến thiên \(R\) được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

- Dựa vào bảng số liệu:

+ Đầu mút trái của nhóm đầu tiên là: \(90\).

+ Đầu mút phải của nhóm cuối cùng là: \(240\).

- Vậy mức chênh lệch nhiều nhất là:

\[ R = 240 - 90 = 150 \text{ (phút)} \]

Đáp án: \(\max y = \frac{1}{e}\); \(\min y = 0\)

Hướng dẫn giải:

- Xét hàm số \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\) trên đoạn \([1; 4]\). Đạo hàm:

\[ f'(x) = \frac{( \ln x )' \cdot x - x' \cdot \ln x}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - 1 \cdot \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \]

- Cho \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow x = e\). Vì \(e \approx 2,718\) nên \(e \in [1; 4]\).

- Tính giá trị tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

+ \(f(1) = \frac{\ln 1}{1} = 0\).

+ \(f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}\).

+ \(f(4) = \frac{\ln 4}{4}\).

- So sánh các giá trị: Vì \(e < 4\) và \(f(x)\) đồng biến trên \((0; e)\), nghịch biến trên \((e; +\infty)\) nên \(f(e)\) là giá trị lớn nhất.

- Ta có \(0 < \frac{\ln 4}{4} < \frac{1}{e}\). Vậy:

\[ \max_{[1; 4]} y = \frac{1}{e} \quad \text{tại } x = e \]

\[ \min_{[1; 4]} y = 0 \quad \text{tại } x = 1 \]

Đáp án: b) 2,1 triệu đồng

Hướng dẫn giải:

Đơn vị tính: triệu đồng. Gọi \(x\) là số lượng đèn bán ra (\(x \in \mathbb{N}^*\)).

a) Biểu thức giá bán \(p(x)\):

- Cứ giảm 0,05 triệu thì tăng 1 sản phẩm. Vậy khi bán được \(x\) sản phẩm, giá đã giảm \(0,05x\).

\[ p(x) = 3 - 0,05x \]

Điều kiện giá bán \(\geq 2,1 \Rightarrow 3 - 0,05x \geq 2,1 \Rightarrow x \leq 18\).

b) Xác định giá bán để lợi nhuận lớn nhất:

- Doanh thu: \(R(x) = x \cdot p(x) = x(3 - 0,05x) = 3x - 0,05x^2\).

- Tổng chi phí \(C(x)\):

+ Chi phí cố định: \(10\).

+ Chi phí nguyên liệu: \(0,6x\).

+ Chi phí vận hành là tổng cấp số cộng: \(0,01 + 0,03 + ... + [0,01 + (x-1)0,02] = \frac{x[2 \cdot 0,01 + (x-1)0,02]}{2} = 0,01x^2\).

\[ \Rightarrow C(x) = 10 + 0,6x + 0,01x^2 \]

- Hàm lợi nhuận \(L(x) = R(x) - C(x)\):

\[ L(x) = (3x - 0,05x^2) - (10 + 0,6x + 0,01x^2) = -0,06x^2 + 2,4x - 10 \]

- Đây là hàm bậc hai có đỉnh tại \(x = \frac{-2,4}{2(-0,06)} = 20\). (Không thỏa mãn \(x \leq 18\)).

- Nên L(x) đạt GTLN tại x = 18 .

- Với \(x = 18\), giá bán là: \(p(18) = 3 - 0,05 \cdot 18 = 2,1\).

Đáp án: 867

Hướng dẫn giải:

- Từ hình vẽ và giả thiết, ta có tọa độ các điểm: \(A(600; 300; 450)\) và \(C(150; 750; 600)\).

- Vì vận tốc không đổi, thời gian đi từ \(A \to B\) (20 phút) gấp đôi thời gian đi từ \(B \to C\) (10 phút) nên \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}\). Điểm \(B\) chia đoạn \(AC\) theo tỉ số \(2:1\).

- Tọa độ điểm \(B\) là:

\[ x_B = \frac{600 + 2(150)}{3} = 300 \]

\[ y_B = \frac{300 + 2(750)}{3} = 600 \]

\[ z_B = \frac{450 + 2(600)}{3} = 550 \]

- Khoảng cách từ trạm \(O\) đến vị trí \(B\) là:

\[ OB = \sqrt{300^2 + 600^2 + 550^2} = \sqrt{752500} \approx 867 \text{ (km)} \]