Đáp án: 5

Hướng dẫn giải:

- Đưa phương trình Elip về dạng chính tắc bằng cách chia cả hai vế cho 100:

\[ \frac{16x^2}{100} + \frac{25y^2}{100} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{\frac{100}{16}} + \frac{y^2}{\frac{100}{25}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{\left(\frac{10}{4}\right)^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \]

- Ta có \(a^2 = \frac{100}{16} \Rightarrow a = \frac{10}{4} = 2,5\).

- Theo định nghĩa Elip, tổng khoảng cách từ một điểm \(M\) bất kỳ thuộc Elip đến hai tiêu điểm \(F_1, F_2\) luôn bằng độ dài trục lớn \(2a\).

- Vậy \(MF_1 + MF_2 = 2a = 2 \times 2,5 = 5\).

Đáp án: 2

Hướng dẫn giải:

- Từ phương trình tham số của \(\Delta\), ta có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (3; 4)\). Suy ra vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (4; -3)\).

- Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(1; 2)\). Phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:

\[ 4(x - 1) - 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0 \]

- Khoảng cách từ \(M(2; 0)\) đến đường thẳng \(\Delta\) là:

\[ d(M, \Delta) = \frac{|4(2) - 3(0) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|10|}{5} = 2 \]

Vậy khoảng cách cần tìm là 2.

Đáp án: 280

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm là \(n = \overline{abcd}\). Vì \(n > 5000\) nên \(a \in \{6, 7, 8, 9\}\). Vì \(n\) là số chẵn nên \(d \in \{0, 2, 6, 8\}\).

Do \(a\) và \(d\) có các chữ số chung \(\{6, 8\}\) nên ta chia làm các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(a \in \{7, 9\}\) (2 cách chọn)

- \(d\) là số chẵn từ tập đã cho: \(d \in \{0, 2, 6, 8\}\) (4 cách chọn).

- Chọn và xếp \(b, c\) từ 5 chữ số còn lại: \(A_5^2 = 20\) cách.

=> Số các số là: \(2 \times 4 \times 20 = 160\) số.

Trường hợp 2: \(a \in \{6, 8\}\) (2 cách chọn)

- \(d\) là số chẵn và \(d \neq a\): có 3 cách chọn (từ \(\{0, 2, 6, 8\} \setminus \{a\}\)).

- Chọn và xếp \(b, c\) từ 5 chữ số còn lại: \(A_5^2 = 20\) cách.

=> Số các số là: \(2 \times 3 \times 20 = 120\) số.

Tổng cộng: \(160 + 120 = 280\) số.

Đáp án: 810

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niu-tơn \((a + b)^n\) là: \(T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k\).

Áp dụng với \((2 + 3x)^5\), ta có: \(T_{k+1} = C_5^k \cdot 2^{5-k} \cdot (3x)^k = C_5^k \cdot 2^{5-k} \cdot 3^k \cdot x^k\).

Để tìm số hạng chứa \(x^4\), ta cho số mũ của \(x\) bằng 4: \(k = 4\).

Thay \(k = 4\) vào biểu thức hệ số, ta được: \(C_5^4 \cdot 2^{5-4} \cdot 3^4 = 5 \cdot 2^1 \cdot 81 = 810\).

Vậy hệ số của \(x^4\) là 810.

Đáp án: \((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25\)

Hướng dẫn giải:

- Ta có \(O(0; 0), A(8; 0), B(0; 6)\). Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) vì \(OA\) nằm trên trục \(Ox\) và \(OB\) nằm trên trục \(Oy\).

- Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền \(AB\).

- Tọa độ tâm \(I\) là trung điểm \(AB\): \(I\left(\frac{8+0}{2}; \frac{0+6}{2}\right) = (4; 3)\).

- Bán kính \(R = IA = \sqrt{(8-4)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5\).

- Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\) là: \((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 = 25\).

Đáp án: 16934400

Hướng dẫn giải:

- Coi 2 cuốn sách Toán là một nhóm \(X\). Số cách xếp 2 cuốn Toán trong nhóm là \(2! = 2\) cách.

- Xếp nhóm \(X\) và 6 cuốn Anh văn thành một hàng: Có \(7!\) cách xếp. Khi đó, giữa 7 đơn vị này sẽ tạo ra 8 khoảng trống.

- Để các cuốn sách Văn không cạnh nhau, ta chọn 4 khoảng trống từ 8 khoảng trống trên để đặt 4 cuốn Văn vào: Có \(A_8^4\) cách.

- Vậy tổng số cách xếp là: \(2! \times 7! \times A_8^4 = 2 \times 5040 \times 1680 = 16.934.400\) cách.

Đáp án: \(\frac{89}{100}\)

Hướng dẫn giải:

- Số cách rút 3 tấm thẻ từ 26 tấm là: \(n(\Omega) = C_{26}^3 = 2600\).

- Để tích của 3 số là một số chẵn, ta sử dụng biến cố đối: "Tích của 3 số là một số lẻ".

- Tích của 3 số là số lẻ khi và chỉ khi cả 3 số đều là số lẻ.

- Từ 1 đến 26 có 13 số lẻ \(\{1, 3, 5, ..., 25\}\) và 13 số chẵn.

- Số cách chọn 3 tấm thẻ đều mang số lẻ là: \(n(\overline{A}) = C_{13}^3 = 286\).

- Xác suất để tích 3 số là số lẻ: \(P(\overline{A}) = \frac{286}{2600} = \frac{11}{100}\).

- Vậy xác suất để tích của 3 số là một số chẵn là: \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{11}{100} = \frac{89}{100}\).